鲍建生
20 世纪对中学几何课程来说, 无疑是一个多事之秋. 当历史的巨轮刚驶过世纪之门, 克莱茵—贝利运动就首先对保持了整整两千多年的欧氏几何发起了冲击. 从那以后, 每一
次数学教育运动都把几何课程作为改革的焦点和成败的标志. 直到今天, 几何课程仍是数学课程中最不统一的部分, 关于几何课程的许多根本性的问题, 在争论了将近一个世纪
后仍无定论. 因此, 我们在讨论新课程标准的时候, 一个重要的工作就是回顾这一个世纪的风风雨雨, 从中吸取成功的经验和失败的教训, 明确改革的方向.
1 世纪之初: 克莱茵—贝利运动
20 世纪之前的两千多年里, 对所有人来说, 几何就是欧氏几何. 这中间, 也有过一些零零星星的非议(如法国数学家达朗贝尔就曾指出:“欧几里德的《原本》绝不是为我们时
代的儿童所写的”, 认为应该重新编写几何教材), 但却始终未能撼动欧氏几何在中学数学课程中的统治地位. 进入20 世纪以后, 形势就发生了很大的变化, 中学几何课程开始走
上一条坎坷的改革之路.
1901 年, 英国数学家贝利发表了“论数学教学”的著名演讲, 提出了“数学教育应该面向大众”,“数学教育必须重视应用”的思想, 以及改革数学教育的鲜明的主张. 其中多数是针对几何课程的, 如: 要从欧几里德《原本》的束缚中完全解放出来; 要充分重视实验几何; 重视各种实际测量和近似计算; 要充分利用坐标纸; 应多教些立体几何(含画法几何); 较过去更多地利用几何学知识等等. 与此同时, 著名数学家克莱茵在德国也提出了相应的观点. 这些观点给当时的数学教育界以强烈的冲击, 由此掀起了一场波及多国的数学教育近代化运动. 这场运动虽然起因于克莱茵、贝利的演讲, 但从根源上看, 有以下几个方面:
首先, 从社会角度看, 19 世纪末的社会生产和科学技术飞速发展, 许多国家都发现中学数学教学的内容和方法不能适应那个时代的科学和生活的需要, 不能适应数学发展的需要, 社会各界都产生了教育改革的强烈愿望, 正如贝利所说:“我们再也没有欧几里德时代那样多的空间时间了.”
其次, 从心理角度看, 作为19 世纪课程设计理论基础的“官能心理学”受到了赫尔巴特教育思想的有力挑战. 赫尔巴特认为不应当把各种官能孤立起来看待, 而应当把活动分成各个等级, 最要紧的一点则是注意兴趣的培养:“令人厌倦是教学的最大失误”. 在这种观点下, 以形式训练为手段、发展官能为目的的传统的欧氏几何开始动摇. 1871 年, 英国成立了几何教学改进协会(A IGT ), 从那时候起, 就试图用其他几何来代替欧氏几何.
此外, 从数学角度看, 早在18 世纪, 各国数学家(如勒让德、裴蜀等) 就开始编写新的几何教材, 其中已注意了几何与代数的结合. 到1872 年, 克莱茵发表了著名的爱尔兰根纲
领, 用变换群的观点把各种几何统一起来, 为几何的代数化提供了理论基础. 在这种情况下, 作为“孤岛”的欧氏几何同样也已不适合数学的要求.
克莱茵—贝利运动由于两次世界大战的爆发被迫中断了许多有价值的实验与研究, 但它对几何课程的影响是深刻的, 例如, 解析几何成为中学的核心课程; 几何变换知识在中学几何中得以充实, 它也为后来的“新数”运动起了先导的作用; 而更主要的, 它的许多观点在今天看来仍具有参考的价值.
2 60 年代:“新数”运动
“新数”运动是20 世纪最为轰轰烈烈的一场数学教育改革运动. 关于这场运动的是非功过, 在其后的三十年间, 始终是人们研究的一个重要课题. 虽然, 从整体上看,“新数”运动以失败而告终, 但它对中学数学课程的影响至今仍在延续. 下面, 笔者从几何课程角度, 对这场运动再作一点回顾与反思.
2.1 起因
“新数”运动的出现主要有三个方面的原因: 首先是数学本身的变革. 第二次世界大战后, 布尔巴基学派的兴起, 使数学抽象化、公理化、结构化的程度越来越高, 并使得古典几何被排除在现代数学之外. 布尔巴基在《数学史初步》中明确指出:“大家都同意在数学的发展中古典几何的重要性是无可争议的.
但是, 今天对于职业数学家来说, 这种智力已被耗尽了, 因为在它里面不再有任何结构的问题可以在数学的其它部分得到反应”. 布尔巴基学派的元老,“新数”运动的精神领袖狄多内(J. D ieudonne) 更为直接地喊出了“欧几里德滚蛋”的口号, 他认为“欧几里德几何是以落后于时代的方法和思维方式所堆砌的一堆遗物”,“对现代的数学工作者来说, 只不过象供消遣的幻方和国际象棋一样”. 因此, 作为一门科学来说, 欧几里德几何已经死了. 在这种情况下, 许多数学家都竭力主张彻底改革中学数学课程, 用现代数学的思想方法和语言来重建传统的初等数学, 并引进新的现代数学内容.
其次是课程观念上的转变. 继本世纪初的“训练理论”(drill theory) 以后, 现代心理学领域中出现了以皮亚杰为首的结构主义学派, 发现数学思维的结构与数学结构十分相似, 这一研究对数学教育的改革产生了很大的影响. 数学教育的专家们开始重视对数学的理解, 研究的重点是“如何教?”他们感到, 传统的数学课程存在着明显的不足: 一是过分强调运算技巧, 学习数学退化为死记公式、模仿例题的工作, 缺乏必要的数学理解; 二是忽视数学的逻辑结构和系统性, 人为地把数学课程分割成一些互不相通的部分. 正是在这种课程思想指导下, 早在50 年代初期,“新数”运动就已作为美国战后数学教育计划之一悄悄地开始了.
除了上述两个因素外,“新数”运动的一个直接的“导火索”就是苏联第一颗人造地球卫星的上天, 美国朝野在震动之后把矛头一致对准基础教育. 正是在这股强大的外力的作用下, 使得“新数”运动不得已放弃了试验工作, 在没有充分准备的情况下, 仓促上马, 从而, 也为最终的失败埋下隐患.
2.2 目标
在“新数”运动中, 几何被并到以集合为基础的初等数学的结构中. 因此, 一方面, 数学教育的一般目标也就是几何教育的目标, 几何也包含变换(映射) 的集合、群、顺序关系、等价性等等; 另一方面, 在走上数学结构的几何道路上, 也存在特殊性和一定的心理学因素, 因而也对几何教学提出了特殊的目标, 其中最突出的是: [3]
(1) 把物理空间质朴地加以数学化和直接应用.
初等欧氏几何是在对物理空间的具体概念进行组织的过程中发展起来的. 这种局部组织对人类的日常活动仍然是有作用的. 学生在他的一生中将面对具体的对象、具体的关系、具体的变换, 它们可以分别形象地表现为几何的对象、几何的关系、几何的变换. 任何时候学生都应该能够给出实际情况的几何形象. 几何教学的一个目标就是要为实际应用作准备. 但是, 这种应用不能归结为所谓建筑学的应用或普通工匠的水平, 而是研究从具体空间中所提出的问题, 它们将导致把问题数学化、局部的演绎推理和真正的数学活
动. 很显然, 物理空间不能也不应该是学生数学活动过程的惟一源泉, 但这个源泉的重要性不应忽视.
(2) 作为学习当代数学基本结构和对几何直觉加以提炼的开端.
这是几何教育的一个新的和重要的目标. 过去100 年的数学史显示了几何可以为研究代数结构和某种空间的拓扑结构服务, 特别是仿射空间和向量空间是重要的结构, 它们可以通过几何的途径得到好处. 今天某些重要的代数和拓扑结构的开头部分可以在几何的结构内以自然的方式组织起来. 以这样的设想讲授几何一方面能发展学生的提炼了的直觉, 另一方面能发展他们的更形式的思维方法. 作为对分析学习的准备, 几何教育的一个重要目标是发展结构和拓扑学的几何概念. 今天的几何既是线性代数的源泉也是其应用的领域. 几何教育的重要目标之一是抽象出结构并且加以应用.
(3) 作为数学形式推理的开端.
过去, 欧氏综合几何被认为是中学中演绎方法的、严谨的和逻辑的惟一模型. 现在几何已丧失了这种特权地位, 并且普遍认为古典的形式并不能很好地起到这种作用. 但是, 甚至对那些反对欧氏综合几何的整体或完全公理化的人来说, 几何仍保留着把启发学生的数学逻辑思维作为基本目标. 因为几何要求对思维进行一定的训练, 它可以有利于对演绎有较深入的理解. 例如, 当学生掌握了定义的作用并且学习只运用这些定义而不运用他的直觉知识时(而这些知识常常凌驾在具有定义所呈现的性质的对象上), 当他不得不谨慎地区分直觉的途径、直觉的真实性和证据与推理的方法时, 他就开始理解什么是论证. 正是在几何中, 而不是在代数中产生的直觉和形式化的途径的这种十分特殊的联系, 几何保留其引导到公理和演绎推理的目标. 从上述三点可以看到,“新数”运动并没有改变传统几何教学的基本目的, 它要改变的是实现这些目的的途径: 在传统几何中是离开其他数学领域, 孤立地学习几何事实, 并且逐个地证明定理; 而在“新数”中, 除了要求学会如何证明、提高一个人的推理能力和空间想象能力外, 还要求把几何与其他数学学科统一起来, 通过运用线性代数、群论和变换等现代数学工具对几何进行更一般的系统阐述.
应该说,“新数”运动的这些出发点无疑是正确的, 但良好的愿望不等于成功的实践.
“新数”运动在几何课程中的失败在很大程度上归咎于课程实施中的急功好利, 忽视了学生的认知规律.(待续)